« Les nombres amicaux », ces étranges paires mathématiques qui fascinent les amoureux, les mystiques et les scientifiques depuis 2 500 ans

Deux nombres qui, à première vue, semblent n'avoir aucun lien. Pourtant, selon certaines interprétations, ils sont amis, voire amants .

Leur étroite relation se révèle lorsqu'on additionne leurs diviseurs propres, c'est-à-dire les nombres qui les divisent exactement sans les compter eux-mêmes. Voyez ce qui se passe :

Les diviseurs de 220 sont 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44 et 55, et leur somme est égale à 284.

Les diviseurs de 284 sont 1, 2, 4, 71 et 142, et leur somme est égale à 220.

Chacun est l'identité exacte de l'autre. C'est, en substance, la définition des nombres amicaux : une paire de nombres tels que la somme des diviseurs propres du premier donne le second, et réciproquement.

Nous ne savons pas exactement quand ce lien a été découvert, mais nous avons un indice ancien : la plus ancienne référence écrite qui nous soit parvenue provient de Jamblique de Chalcis, un philosophe néoplatonicien syrien des IIIe et IVe siècles après J.-C.

Jamblique attribua la découverte à Pythagore — comme les Pythagoriciens le faisaient généralement pour presque toutes les découvertes mathématiques — et cita le maître disant « un ami est un autre soi-même », une relation qui, commenta-t-il, « s'observe dans ces nombres ».

Il parlait précisément des 220 et 284, la première paire découverte et, pendant des siècles, la seule connue.

Pour les Pythagoriciens, fascinés par l'arithmétique et sa dimension philosophique, il s'agissait d'une représentation numérique de l'amitié, et ce symbolisme ne se limitait pas aux traités mathématiques, même s'il traitait de la théorie des nombres, l'une des branches les plus pures de la science.

Étant donné que deux entités distinctes se complètent parfaitement par leur nature interne, il n'est pas surprenant qu'elles aient été imprégnées de sens, de mysticisme et de mythes, les chargeant de désirs et d'espoirs.

Même à l'avènement d'une ère plus rationnelle, ces paires continuèrent d'attiser les passions de brillants mathématiciens rivaux.

Elles ont également joué un rôle déterminant dans un cas fascinant de simultanéité scientifique, lorsque deux paires ont été découvertes à deux reprises dans l'histoire, dans des lieux géographiquement et culturellement éloignés.

Fraternité, amitié et amour

L'un des endroits les plus surprenants où l'on a retrouvé le secret caché dans ces nombres est la Bible.

Les mystiques kabbalistiques ont souligné que, lorsque Jacob était sur le point de revoir Ésaü – le frère dont il avait pris le droit d'aînesse et qui, vingt ans plus tôt, avait juré de le tuer –, il lui envoya un cadeau énorme, comprenant des troupeaux entiers de chèvres, de moutons, de chameaux, de vaches et d'ânes.

Parmi eux, deux chiffres se distinguent : 200 chèvres et 20 boucs, soit 220 animaux ; et, séparément, 200 moutons et 20 béliers, soit 220 autres.

Coïncidence ? Les commentateurs juifs n'y croyaient pas.

L'interprétation du Rav Nachshon Gaon, qui dirigeait l'académie rabbinique de Sura (l'Irak actuel) au 9e siècle, était la suivante : « Jacob, notre père, a préparé son cadeau avec sagesse (...) le nombre 220 est un secret caché (...) Et Jacob avait cela à l'esprit ; cela a été testé par les anciens pour s'assurer l'amour des rois et des dignitaires. »

Selon l'interprétation mystique, Jacob envoyait un sort numérique. En recevant le nombre 220, l'âme d'Ésaü activerait sans le savoir son pendant, le 284 : affection, réciprocité, pardon fraternel.

L'idée que ces chiffres pouvaient susciter de l'affection, et pas seulement la symboliser, s'est également répandue dans le monde islamique.

L'historien Ibn Khaldun, dans sa Muqaddima (1377), a noté : « Les praticiens de la magie talismanique affirment que les nombres amicaux 220 et 284 ont une influence pour établir une union ou une amitié très forte entre deux personnes. »

Dans le grimoire influent « Livre de Picatrix » (intitulé à l'origine Ghāyat al-Ḥakīm , « Le But des Sages » et écrit vers l'an 1000), l'auteur a mis la recette en pratique.

Le texte décrit comment fabriquer deux talismans sous une configuration astrologique favorable - avec la Lune et Vénus dans une position propice -, graver 220 sur l'un et 284 sur l'autre, et les enterrer ensemble pour sceller « un amour éternel et une très forte affection ».

Et, parlant de l'art d'utiliser ces nombres « pour effectuer des calculs liés à l'amour », il a également indiqué que lorsque deux personnes consommaient ou buvaient ces nombres, « elles formaient une grande amitié et devenaient mutuellement agréables ».

« Si ces chiffres étaient gravés dans le bois et utilisés pour marquer le pain ou tout autre aliment à offrir à quelqu'un, cette personne éprouverait un grand amour et une grande joie envers celui qui le lui aurait donné », a-t-il poursuivi.

« Si ces formules étaient inscrites sur les vêtements, on ne pouvait pas les voler à leur propriétaire ; et si elles étaient affichées sur des banderoles placées dans la rue pour attirer les clients, elles réussissaient à attirer des clients. »

Il a ensuite détaillé la méthode pour séduire la personne désirée : écrire les nombres sur la nourriture, manger soi-même le plus gros et donner à l'autre personne le plus petit ; ou lui donner 220 raisins secs ou graines de grenade et en consommer soi-même 284.

L'auteur, dont l'identité est inconnue, affirme avoir testé la méthode « à de nombreuses reprises » et l'avoir « constatée exacte ».

Lorsque ces traités arabes et traductions de l'arithmétique grecque parvinrent au latin médiéval et de la Renaissance, certains érudits cessèrent de les appeler simplement numeri amicabiles – nombres amicaux – et commencèrent à les désigner par numeri se invicem amantes : nombres qui s'aiment.

Ainsi, 220 et 284 avaient cessé d'être un exemple arithmétique d'amitié pythagoricienne et étaient devenus, dans l'imaginaire populaire, l'équivalent numérique d'un couple d'amoureux.

L'une plus grande et l'autre gigantesque

Une légende raconte l'histoire d'un sultan passionné d'énigmes qui découvrit parmi ses prisonniers un mathématicien. Il lui proposa un marché : si le mathématicien parvenait à formuler un problème insoluble, il resterait libre jusqu'au jour où le sultan en trouverait la solution.

Il serait exécuté ce jour-là.

Le mathématicien le mit au défi de trouver une paire de nombres amicaux inconnus… et mourut libre, de vieillesse.

Mais cela, comme nous l'avons dit, n'est qu'une légende.

Tandis que cette aura mystique continuait d'entourer les nombres amicaux, et qu'en Europe médiévale ils restaient presque oubliés dans les manuscrits, à Bagdad, Damas et dans les cours d'Al-Andalus, c'était l'inverse qui se produisait.

Entre le VIIIe et le XIVe siècle, le monde islamique devint le grand gardien et le moteur du savoir mathématique : les textes grecs d'Euclide, de Nicomaque et de Diophante furent traduits en arabe, les progrès de l'arithmétique indienne furent ajoutés, et de ce mélange émergèrent des découvertes qui allaient bien au-delà de ce qui avait été hérité.

Thābit ibn Qurra (826-901 ap. J.-C.), mathématicien, astronome et traducteur né à Harran (dans l'actuelle Turquie), ne se contentait pas d'admirer ses connaissances : il voulait les comprendre et, ce faisant, formula un théorème général capable de générer de nouvelles paires à partir d'une formule.

Selon les historiens qui ont étudié ses manuscrits originaux, il est très probable que Thābit lui-même ait trouvé une deuxième paire, auparavant inconnue : 17.296 et 18.416.

Des siècles plus tard, deux mathématiciens de différentes régions du monde islamique - Ibn al-Bannā, au Maroc, et Kamāl al-Dīn al-Fārisī, en Perse - sont arrivés indépendamment à la même paire, en appliquant la formule de Thābit.

Le chapitre s'est achevé à la fin du XVIe siècle, lorsque le mathématicien persan Muhammad Baqir Yazdi a calculé une troisième paire, beaucoup plus grande : 9 363 584 et 9 437 056.

Yazdi l'a consigné dans son traité Oyoun Alhesab (« Les Sources de l'arithmétique »), sans se douter de ce qui allait advenir dans l'histoire de ces paires.

Deux grands... rivaux

En Europe, en revanche, on ne savait rien de cela : la seule paire d'amis connue était celle découverte il y a des millénaires dans la Grèce antique, les originaux 220 et 284.

Bien que Thābit ibn Qurra ait été un astronome très respecté dans l'Europe médiévale - sous le nom latinisé de « Thebit » - le manuscrit dans lequel il expliquait sa règle pour trouver des nombres amicaux n'a jamais été traduit en latin et est resté archivé dans des bibliothèques du Moyen-Orient et d'Afrique du Nord.

Les Lumières arrivèrent au XVIIe siècle, et la raison triompha du mysticisme. Mais la passion ne s'éteignit pas pour autant. Il ne s'agissait plus tant de talismans ou de philtres d'amour, mais de quelque chose d'aussi intense : l'ego et la rivalité de deux génies qui ne pouvaient se supporter.

Pierre de Fermat et René Descartes comptaient parmi les plus brillants esprits mathématiques de France à leur époque, mais leurs caractères et leurs méthodes étaient diamétralement opposés, ce qui les menait à des débats passionnés sur presque tous les sujets abordés. La théorie des nombres et les nombres amicaux n'y faisaient pas exception.

En 1636, Fermat lâcha une bombe : il annonça, par l'intermédiaire de son ami et messager scientifique Marin Mersenne, la découverte d'une seconde paire de nombres amicaux, absents depuis l'époque de Pythagore : 17 296 et 18 416.

Descartes, qui n'a jamais caché son manque de respect pour la manière dont son rival faisait des mathématiques et qui ne voulait pas être laissé pour compte, répondit deux ans plus tard par un coup encore plus grand : après un marathon de calculs effectués à la main, il annonça en 1638 une troisième paire, beaucoup plus colossale : 9 363 584 et 9 437 056.

Avez-vous remarqué que ces paires sont les mêmes que celles qui avaient déjà été découvertes ?

Ce qui est curieux — et ce qu'aucun d'eux ne savait — c'est que tous deux étaient parvenus à leurs découvertes en redécouvrant sans le savoir la même formule que Thābit ibn Qurra avait formulée 700 ans plus tôt à Bagdad.

Il s'agit d'un phénomène connu en science sous le nom de redécouverte indépendante.

Et dans ce cas précis, il fallut attendre près de trois siècles avant que l'historien néerlandais Jan Hogendijk ne confirme, en 1985, ce que Fermat et Descartes ignoraient : que des érudits du Moyen-Orient les avaient devancés.

Mais comment est-il possible qu'ils aient déduit exactement la même formule ?

Logiquement...

Ce n'était ni de la magie ni de l'espionnage ; c'était la logique des mathématiques.

Thābit, Fermat et Descartes furent tous trois inspirés par Euclide, le grand géomètre de l'Antiquité. Tous trois se demandèrent si l'ingénieuse construction qu'il avait élaborée pour les nombres parfaits pouvait être adaptée pour générer des nombres amicaux.

En mathématiques, lorsque des esprits brillants partent du même point et poursuivent le même but, la logique les conduit généralement dans la même direction, même si des siècles, des langues et des frontières les séparent.

Cependant, après des millénaires d'histoire, seules trois paires de nombres amicaux étaient connues. Jusqu'à l'arrivée de Leonhard Euler.

En 1750, le mathématicien suisse publia un article intitulé De Numeris Amicabilibus , dans lequel il décrivait une méthode beaucoup plus élégante et systématique pour trouver de nouvelles paires.

Et il a trouvé 59 autres nombres amicaux. Comme l'a écrit l'historien des mathématiques William Dunham : « À lui seul, il a multiplié par 20 le nombre de nombres amicaux dans le monde. »

Mais même un génie comme Euler a omis quelque chose.

En 1866, un adolescent italien de 16 ans nommé Nicolò Paganini découvrit la paire 1184, 1210 – la deuxième plus petite qui existe, juste derrière 220, 284 – qui était passée inaperçue de tous les grands mathématiciens.

Aujourd'hui, grâce à la puissance de calcul des ordinateurs, on connaît plus d'un milliard de paires de nombres amicaux. Pourtant, près de 2 500 ans plus tard, ils recèlent encore des secrets qui intriguent les mathématiciens.

Et, si vous naviguez sur Internet, vous pouvez encore trouver des porte-clés et des breloques à vendre avec des cœurs divisés en deux, et les nombres 220 et 284 gravés sur chaque moitié.